Analisa Riil

1. Selesaikan
Jawab:







(-x – 10) (x + 4) < 0
_ _ _ + + + + _ _ _

| |
-10 -4
Jadi HP = {x | x < -10 x > -4}

2. Buktikan bahwa implikasi yang ditunjukkan adalah benar !
Jawab :



Jadi terbukti

3. Selesaikan ketasamaan berikut 2|x - 3| < |x + 10|
Jawab :
2|x - 3| < |x + 10|
2 (x2 – 6x­ + 9) < x2 + 20x + 100
16x2 -48x + 36 < x2 + 20x + 100
15x2 – 68x – 64 < 0
(15x + 12) (x-16/3)
+ + + + _ _ _ _ + + + +
4/5 16/3
x = 4/5 U x = 16/3


Jadi HP = {x| 4/5 < x < 16/3}

4. Diketahui :

Tentukan (gof) (x)??
Jawab:


Karena maka (gof) (x) terdefinisi.
(gof) (x) = g(f(x))
= g(x2-1)
=
=
Jadi (gof)(x) =

5. Diketahui fungsi-fungsi berikut :
(f(g(x))= 4 - 2x dan g(x)= 6x + 1
Tentukan fungsi f(x)?
Jawab :
(fog(x)) = f(g(x))
(fog(x)) = f(g(x))= 4 - 2x
f(6x-1) = 4 - 2x
Bagian ruas kanan diubah sedemikian sehingga memuat bentuk (6x + 1) dengan cara sebagai berikut :
f(6x-1)= 4 - 2x
f(6x-1)= 4 + (-1/3(6x+1) + 1/3)
f(6x-1)=
Karena f(6x+1) = , maka
f(x) =
Jadi f(x) =

6. Diketahui fungsi dan fungsi . Selidiki apakah g(x) merupakan invers dari f(x)?
Jawab :
· (gof)(x) = g(f(x))
= g( )
=
=
=
= = I (x)

· (fog(x) = f(g(x))
= f (
=
=
Karena (gof)(x)= (fog)(x) = I(x)= x, Maka g(x)merupakan invers dari f(x)


7. Jika diketahui f(x) = tentukan ?
Jawab :
· f(x) = 2x

· g(x) = 3-5x

· Rf
· Rf
Karena Rf Maka (gof)(x) terdefinisi
(gof)(x)= g(f(x))
= g(2x)
= 3-5(2x)
= 3- 10x
Misal y =(gof)(x)= 3-10x
y = 3-10x
x =
(gof)-1(y)=
Jadi (gof)-1(x)=

8. x
x
Apakah limit f(x) ada jika f(x)= x?. Jika ada ada tentukan nilia limit f(x)

Jawab :
x
x
Limit f(x) =limit x = 2 …..(1)

x
x
Limit f(x) =limit x = 2 …..(2)

x
x
Dari (1) dan (2) tampak bahwa Limit f(x) =limit f(x) = 2,
x
maka Limit f(x) ­Ada.

x
x
Nilai Limit f(x) = Limit x= 2.


9. x
Hitung nilai limit ?
Jawab :
x
x
Limit = Limit x
x
= Limit
x
= Limit

x
= Limit (

=
= + 4
= 4 + 4
= 8
x
Jadi Limit = 8


10. x
Hitunglah limit
Jawab :

x
x
Limit = Limit
x
x
= Limit . Limit
=
=
x
Jadi limit = -

11. Diketahui fungsi ­f(x) = x2- x. Apakah f(x) kontinu pada x=1?
Jawab :
· f(x) = x2- x
f(1) = 12- 1
= 0 .....(i)
Jadi f(1) ada
· x
x
limit f(x) = limit (x2-x)
x
= limit 12-1
= 0 .....(ii)
x
Jadi limit f(x) Ada

Dari (i) dan (ii) jelas bahwa f(l) = limit f(x) = 0
Jadi fungsi ­f(x) = x2- x kontinu pada x=1

12. Diketahui , supaya f(x)kontinu pada x =1 berapa nilai f(x) yang harus ditetapkan?
Jawab :
x
x
Limit f(x)=
x
= limit
x
= limit (x + 4)
= 1 + 4
= 5
Supaya fungsi f(x) kontinu pada x = 1 syaratnya adalah f(1) = 5.
Jadi, nilai f(1) = 5 dan fungsi f(x) dapat ditetapkan sebagai berikut :
f(x)=

5 , untuk x = 1


13. Diketahui fungsi
a. Apakah f(x) kontinu pada x = 3
b. Tentukan nilai f(3) agar f(x) kontinu pada x = 3
Jawab :
a. Nilai fungsi f(x) untuk x = 2
f(2) =
=
= (tidak terdefinisi)
Karena f(3) tidak terdefinisi maka f(x) tidak kontinu pada x = 3
b. Nilai limit fungsi untuk x mendekati 2
x
x
Limit f(x) = limit
x
= limit
x
= limit
= 3 + 3
= 6

x
Agar f(x) kontinu pada x = 3 maka f(3) = limit f(x) = 6
Jadi fungsi f(x)ditentukan dengan rumus :
f(x)=

6 , untuk x = 3


14. h
Gunakan untuk mencari turunan fungsi berikut :
?
Jawab :
h

h

h

h

h

h

h




15. h
Cari turunan pertama dari dengan menggunakan rumus : :

Jawab :
h

h

h

h

h

h


Jadi

16. Tentukan Dy jika diketahui ?
Jawab :








Jadi jika diketahui maka
17. Diketahui , cari Dy?
Jawab :
Misal u :
Du: D( )
V :
Dv:D( )
Dy=
Sehingga




Jadi Dy dari adalah

18. Cari Dxy dari ?
Jawab :
Misal : u =
y = u-3
Maka diperoleh
Dxy = Duy.Dxu
Dxy =
Dxy =
Dxy =
Dxy =

19. Tinggi s dalam kaki dari sebuah bola di atas tanah pada saat t detik diberikan oleh
a. Berapa kecepatan sesaatnya pada t =2?
b. Bilamana kecepatan sesaatnya 0?
Jawab :
a.
v(t) = Ds
v(t) = D( )
v(t) = -32t + 40
v(2)= -32(2) + 40
= -64 + 40
= -24
Jadi kecepatan sesaat pada t=2 adalah -24 kaki/detik
b. kecepatan sesaatnya 0 berarti
v(t)=0
v(t)= -32t + 40
0 = -32t + 40

t = detik
Jadi kecepatan sesaatnya 0 pada waktu detik
20. Diketahui , Tentukan Dxy ?
Jawab :
Dxy= Dx( )
Dxy= 4 .
Dxy= 4 .
Dxy= 4 .
Dxy= 4

21. Diketahui . Cari Dxy dengan pendiferensialan implisit ?
Jawab :


= -( )


Jadi Dxy dari adalah

22. Jika s2t + t3 = 1, cari dan ?
Jawab :
a. =...?



=
b. = ...?



=
Jadi = dan =

23. Diketahui fungsi f ditentukan dengan rumus .
a. Tentukan ?
b. Carilah nilai x sehingga tidak terdefinisi?
c. Carilah nilai-nilai x yang mungkin sehingga ?
Jawab :
a. , sehingga
h
=
h
=
h
=
h
=
h
=
h
=
=
=
b. tidak terdefinisi jika bagian penyebutnya nol.
= 0

Jadi tidak terdifinisi untuk nilai x = -3

c. Untuk , diperoleh hubungan :
=


atau
Jadi dicapai jika nilai-nilai atau

24. Dono mempunyai 200 meter kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari halaman berbentuk siku empat untuk anjingnya. Jika ia ingin agar luas maksimun, berapa ukuran sisi-sisi siku empat yang seharusnya ?
Jawab :
Andaikan xadalah lebar dan y adalah panjang siku empat tersebut (seperti pada gambar), keduanya dalam meter.
x


y




Karena tersedia 200 meter kawat, maka :


Luas Total A diberikan oleh :

Agar luas maksimum,



Sehingga diperoleh



Jadi agar luasnya maksimum, maka panjang dan lebar kotak tersebut adalah 50 meter

25. Kenali titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum fungsi pada [-1,4] ?
Jawab :

Titik stasioner :
= 0





Sehingga titik kritis : -1, , 4.



Jadi nilai minimum adalah dicapai pada x = -1 dan nilai maksimum adalah dicapai pada x =

26. Cari nilai-nilai maksimum dan minimum global dari pada [0,9]?
Jawab :



Agar merupakan titik stasioner, maka





Sehingga titi krtitis : 0, 1, 9.
= 0
= 6 - 3 = 3
= 6.3 – 27 = 18 – 27 = - 9
Jadi nilai minimum adalah -9 pada x = 9 sedangkan nilai maksimum adalah 3 pada x = 1.

27. Persamaan parabola ditentukan dengan rumus (a dan b R). Garis menyinggung parabola tersebut di titik (-1,2). Carilah nilai a dan nilai b?
Jawab :
Dari persamaan parabola diperoleh
Gradien garis singgung pada parabola tersebut di titik (-1,2) adalah :
= 4(-1) - a
= - 4 - a
Garis menyingung parabola dititik (-1,2), ini berarti gradien garis singgung sama dengan -6, sehingga diperoleh hubungan :
- 4 - a = - 6

Fakta lain menyatakan bahwa parabola melalui titik (-1,2)

Dengan demikian, nilai a = 2 dan nilai b = - 2.

28. Carilah integral tak tentu dari ?
Jawab :

Misal u =
du = 15x2 dx

sehingga
=
=
=
=
Jadi =

29. Carilah integral tak tentu dari
Jawab :
Misal :

Sehingga
=
=
=
=
Jadi =

30. Buktikan rumus
Jawab :
Misal :




Jadi terbukti bahwa

31. Gunakan perintegralan parsial dua kali untuk menyelesaikan ?
Jawab :

Misal :



Sehingga
=
=
Misal :



Sehingga
=
=
=
Jadi =

32. Tentukan ?
Jawab :
=
=
=
=
=
Maka




Sehingga
=
=
= + k
Jadi = + k